前言
在复习圆锥曲线时, 笔者遇到了“过曲线外一点 \(P\) 作直线 \(l\) 与曲线交于 \(A, B\) 两点, 求 \(|PA|\cdot|PB|\) 范围”这类问题.这与圆中的圆幂定理颇为相似, 因此笔者试图找到一个统一的表达式, 使圆锥曲线也拥有类似的性质.本篇使用AI帮助进行排版, 检验.
引理：圆幂定理
设圆 \(\Gamma\) 的半径为 \(r\), 点 \(P\) 到圆心的距离为 \(OP\).则有
\[ \boxed{\overline{PA}\cdot\overline{PB}=OP^2-r^2} \]其中 \(\overline{PA}\) 表示有向线段 \(PA\).有向线段的乘法为：模直接相乘, 但带上符号.
若取单位方向向量 \(\vec v^0\), 参数化 \(X=P+t\vec v^0\), 并令 \(\overline{PA}=t_A, \ \overline{PB}=t_B\), 则上式与广义幂等式一致.
广义圆幂定理（广义幂等式）
设二次曲线
\[ \Gamma:\quad F(x, y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F_0=0 \]满足二次项系数不全为 \(0\) 且非退化.其二次齐次部分为
\[ Q(x, y)=Ax^2+Bxy+Cy^2. \]对单位方向向量
\[ \vec v^0=(\cos\theta, \sin\theta), \]记
\[ \varphi(\vec v^0)=Q(\cos\theta, \sin\theta) =A\cos^2\theta+B\cos\theta\sin\theta+C\sin^2\theta. \]过不在 \(\Gamma\) 上的点 \(P(x_0, y_0)\) 作直线 \(l\), 方向向量为 \(\vec v^0\).设 \(l\) 与 \(\Gamma\) 交于 \(A, B\), 则由韦达定理可得
\[ \boxed{\overline{PA}\cdot\overline{PB} =\frac{F(P)}{\varphi(\vec v^0)}} \]其中
\[ F(P)=F(x_0, y_0). \]该式称为广义圆幂定理或广义幂等式.
若用非单位方向向量 \(\vec u\), 则
\[ \boxed{\overline{PA}\cdot\overline{PB} =\frac{|\vec u|^2F(P)}{\varphi(\vec u)}} \]普通长度乘积为
\[ \boxed{|PA|\cdot|PB| =\frac{|F(P)|}{\varphi(\vec v^0)}\qquad(\varphi(\vec v^0)>0)} \]若 \(\varphi(\vec v^0)=0\), 直线与曲线至多有一个交点, 不能构成割线, 广义幂等式不适用.
圆幂不等式
椭圆
设椭圆
\[ \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>b>0). \]其二次齐次部分为
\[ Q(x, y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}, \]于是
\[ \varphi(\vec v^0) =\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}. \]由正定性直接得到
\[ \boxed{ \frac1{a^2}\le \varphi(\vec v^0)\le \frac1{b^2} } \]设 \(P\) 在椭圆外, 即 \(F(P)>0\), 有实切线 \(PT\), 且割线与椭圆有两个实交点.切线方向为 \(\vec v_t^0\), 割线方向为 \(\vec v^0\).由广义圆幂定理,
\[ |PA|\cdot|PB|=\frac{F(P)}{\varphi(\vec v^0)},\qquad |PT|^2=\frac{F(P)}{\varphi(\vec v_t^0)}. \]因此
\[ \boxed{ \frac{b^2}{a^2}|PT|^2 \le |PA|\cdot|PB| \le \frac{a^2}{b^2}|PT|^2 } \]不论 \(PT\) 是哪一支切线, 该不等式都成立.它是利用 \(\varphi(\vec v^0)\in[1/a^2, 1/b^2]\) 得到的较宽松全局界; 对给定 \(P\), 最优范围应直接用 \(|F(P)|/\varphi(\vec v^0)\) 在可行方向上的极值确定.
若 \(P\) 在椭圆内, 则无实切线, \(PT\) 无几何意义, 上述不等式不适用.
抛物线
设抛物线
\[ \Gamma:y^2=2px\qquad(p>0). \]其二次齐次部分为 \(Q(x, y)=y^2\), 于是
\[ \varphi(\vec v^0)=\sin^2\alpha, \]其中 \(\alpha\) 为直线方向与对称轴的夹角.
设 \(PT\) 为任意一支切线, 方向向量为 \(\vec v_t^0\); \(PA, PB\) 为割线, 方向向量为 \(\vec v^0\),且
\[ \varphi(\vec v^0)>0. \]由广义圆幂定理,
\[ |PA|\cdot|PB|=\frac{|F(P)|}{\varphi(\vec v^0)},\qquad |PT|^2=\frac{|F(P)|}{\varphi(\vec v_t^0)}. \]于是
\[ \boxed{ |PT|^2\varphi(\vec v_t^0) \le |PA|\cdot|PB| } \]该式在 \(P\) 在抛物线外、存在实切线且 \(\varphi(\vec v^0)>0\) 时成立.
若 \(l\) 平行于抛物线的对称轴, 则 \(\varphi(\vec v^0)=0\).此时直线与抛物线至多有一个交点, 不能构成割线, 故广义幂等式不适用.
固定 \(P\) 的特殊情况
设
\[ P(x_0, y_0),\qquad G(2pt_G^2,2pt_G) \]为切点, 记
\[ \boxed{F(P)=y_0^2-2px_0} \]切点参数 \(t_G\) 满足切线条件
\[ 2pt_G^2-2y_0t_G+x_0=0. \]\(P\) 在对称轴上且外部
设
\[ P(x_0, 0), \qquad x_0<0. \]此时
\[ F(P)=-2px_0>0, \]有两条关于 \(x\) 轴对称的实切线, 切点参数满足
\[ t_G^2=-\frac{x_0}{2p}>0. \]并且
\[ |OG|^2=4p^2t_G^2(t_G^2+1) =x_0(x_0-2p) =\bigl|x_0(x_0-2p)\bigr|. \]于是
\[ \boxed{ |OA|\cdot|OB|\ge |OG|^2, } \]\[ \boxed{ |PA|\cdot|PB|\ge |PG|^2 } \]等号均在割线退化为切线时取得.
\(P\) 在对称轴上且内部
设
\[ P(x_0, 0),\qquad x_0>0. \]此时
\[ F(P)=-2px_0<0, \]无实切线, \(G\) 不存在.但有
\[ \boxed{ |OA|\cdot|OB|\ge |x_0(x_0+2p)| } \]这是因为弦 \(AB\) 过 \(P(x_0,0)\) 时,参数满足
\[ t_1t_2=-\frac{x_0}{2p}<0 \quad (x_0>0), \]再令
\[ t_1+t_2=0, \]即竖直割线时取到最小.
且有:
\[ \boxed{ |PA|\cdot|PB|\ge 2px_0=|F(P)| } \]等号在竖直割线 \(x=x_0\) 时取得.
\(P\) 不在对称轴上
若 \(F(P)>0\), 即 \(P\) 在抛物线外, 存在实切线 \(PG\), 则
\[ \boxed{ |PA|\cdot|PB| \ge \frac{|PG|^2}{4t_G^2+1} =F(P) } \]这是由 \(\varphi(\vec v^0)=\sin^2\alpha\le1\) 得到的较宽松下界; 当\(x>0\), 竖直直线\(x=x_0\)确为割线，此时等号成立; 当\(x<0\), 竖直直线与抛物线无实交点, 不能取等号, 只能取下确界.
若 \(F(P)<0\), 即 \(P\) 在抛物线内部, 无实切线, \(G\) 不存在, 但仍有
\[ \boxed{ |PA|\cdot|PB|\ge |F(P)|=2px_0-y_0^2 } \]一般地, 当 \(P\) 不在对称轴上时, 没有
\[ |OA|\cdot|OB|\ge |OG|^2 \]的统一结论; 该结论只在 \(P\) 位于对称轴上时有上述特殊形式.